表示させないようにする事は可能です。

『表示させないように』とのことなのでCSSで非表示設定にする方法を紹介させていただきますね。

#TopTitle,#TopExplanation {display:none;}

CSSに上記を追加していただければ非表示にできます。
その際に、ブログタイトルと説明文分のスペースが気になるようであれば
/* 一番上のブロック（タイトルが書かれる場所）の設定
の320pxという数字を280pxに書きお直していただくか

#TopBlock {height:280px;}

を追加してみてください。(280px=画像の高さ分です)
※こちらのソースを追加する場合は
既存の設定に対して上書き設定となりますので
指定を優先させるため、既存の設定より後の明記なるよう
CSSの最後または後方に追加するようにしてくださいね。

どのような動作をさせたいかによりますが
iframeの動作で大丈夫なら、左メニューを残したまま右画面にリンク先の別ページを表示させることが可能です。
やり方は何通りかありますが
一番簡単で安易な方法としては記事にiframeを使ったページを作成して個別記事にリンクさせて表示する方法でしょうか。
それ以外の方法になると、妥協しなければならない点やテンプレを弄るなどソースが複雑になってきたり難易度が上がってきそうです。

iframeの記事ページを作成して、http://○○.blog.shinobi.jp/Entry/○○/というURLの個別記事にリンクさせる方法です。

サンプルブログにiframeを個別記事に使って別ページを表示させてみました。

≫サンプル(http://chell.iku4.com/Entry/5/)

記事のソースは↓のような感じになってます。

<iframe height="500px" width="100%" style="border: medium none;" src="http://www.google.co.jp/webhp?hl=ja">
この部分は iframe 対応のブラウザで見てください。
</iframe>

iframeについて私から言えることは
検索等で出てくるサイトに書かれていることと同じことしか言えないので
細かい指定方法などの詳細は検索等で参照していただければと思います。

≫Google 探索　『インラインフレーム』

差し替えていただいて大丈夫です。
その際は必ず、差し替えた画像著作に合わせて画像著作表示も差し替えてくださいね。
画像の横幅800px、縦幅270pxとなっています。
差し替え方はCSSの

/* 一番上のブロック（タイトルが書かれる場所）の設定
--------------------------------------------------------------------------------- */
#TopBlock {
	height: 320px;
	background: url(http://file.○○.blog.shinobi.jp/3rd_header.jpg) no-repeat center bottom;
}

こちらのhttp://～.3rd_header.jpgとなっている箇所を
差し替える画像URLに変更していただければとできると思います。
height: 320px;は画像が表示されるボックス要素の高さなので
画像の縦幅プラス50pxが妥当だと思います。
例えば縦幅400pxの画像を扱いたいときはheight: 450px;など調整してみてくださいね。

ご質問に黙々と答える淡白なお返事になってしまいましたが、何か解決につながるヒントになれば幸いです～！
手にしていただいて本当にありがとうございます。

追記★検索でこられた方へ
2010/08/09 忍者ブログ用に応用させたメモを書いてみましたので参考にどうぞ

≫『[忍者ブログ] プラグインの折りたたみ cookieによる開閉記憶』

こちらはJavascriptの問題ですね。折りたたみスクリプトの仕様だと解釈されるのが良いと思います。
おそらく、折りたたみスクリプトにキャッシュやcookie等で開閉を記憶して操作を行う機能あればおっしゃるような仕様に近くなるのだと思います。
なのでそういった機能を備えた折りたたみスクリプトに変えるというのはどうでしょうか？
私もJavascriptには詳しくないのでぐぐってみるくらいしかできなかったのですが、よさそうなスクリプトがあったので紹介しておきますね。

＞サイドメニュー折りたたみスクリプト（cookie等改善版） （小粋空間）

ブログ拝見させていただきました。
シンプルでキレイにカスタマイズされてて感動しちゃいました！素敵ですっ！
ここまでキレイにカスタマイズできる方に使っていただけるのは、恐縮と同時にとても光栄に思いました。
コメントにも色々気を使ってくださっていて…！
何かを作って公開されることは素敵だと思います。個人的にはそういうサイトは好きです。
同じ趣味の方と触れ合えたりできるのはもっと素敵だと思いますし！
見知ったキャラを発見してこれは！！と一人興奮してしましましたっ！
とってもやる気みなぎるパワーをいただきました。
こちらも応援してます！嬉しいコメントをありがとうございました。

『プラグイン5はトップページのみに表示する』ようにしたいという事でいいのであれば

			<div id="sub_pluginBlockE">
				<!--plugin5-->
				<div class="PluginInnerBlock">
					<div class="PluginTitle <!--$plugin_title_align-->">
						<!--$plugin_title-->
					</div>
					<div class="PluginExplanation <!--$plugin_explanation_align-->">
						<!--$plugin_header_explanation-->
					</div>
					<div class="PluginContents <!--$plugin_contents_align-->">
					<!--$plugin_data-->
					</div>
					<div class="PluginExplanation <!--$plugin_explanation_align-->">
						<!--$plugin_footer_explanation-->
					</div>
				</div>
				<!--/plugin5-->
			</div>

となっている部分を

<!--if_toppage-->

			<div id="sub_pluginBlockE">
				<!--plugin5-->
				<div class="PluginInnerBlock">
					<div class="PluginTitle <!--$plugin_title_align-->">
						<!--$plugin_title-->
					</div>
					<div class="PluginExplanation <!--$plugin_explanation_align-->">
						<!--$plugin_header_explanation-->
					</div>
					<div class="PluginContents <!--$plugin_contents_align-->">
					<!--$plugin_data-->
					</div>
					<div class="PluginExplanation <!--$plugin_explanation_align-->">
						<!--$plugin_footer_explanation-->
					</div>
				</div>
				<!--/plugin5-->
			</div>
<!--/if_toppage-->

というように『もしもトップページだったらの独自タグ』で囲う改造をしてみてください。
プラグイン5はトップページのみに表示され、カテゴリーを選択したときは記事だけが表示されるようになると思います。

プラグインの表示場所を把握されてないのだと思うので解説しておきますね。
CHELL カスタマイズ用 #04は
トップ(記事の上)にプラグイン5、メニューのAboutにプラグイン4、メニューのOtherにプラグイン1(上)、プラグイン2(下左)、プラグイン 3(下右)が纏めて表示されるようになっています。
なのでプラグイン5に何も設定されていない場合は、おっしゃるように「記事タイトルその１」から始まります。
プラグイン1、プラグイン2、プラグイン3のいずれかにあるカレンダーやリンクやカテゴリーなどをプラグイン5に移動させてみてください。
すでに色々いじっていらっしゃるとのことなので、うまくいかないのであれば再ダウンロードしてプラグインを移動させてみてくださいね。

それはテンプレートを編集されたからそうなったのでしょうか？
ダウンロードしたままの状態からすでにそうなっているわけでは無いようでこちらで確認できずにいます。
差し支えなければ適応されてるURLやHTMLとCSSを添えてくだされば何かおこたえできるかもしれません。

CSSの

/* 記事繰り返し処理全ての部分の設定
--------------------------------------------------------------------------------- */
#EntryBlock {
	width: 500px;
	text-align: left;
	padding-top: 150px;
}

となっている部分のpadding-top:150px;の数字をカウンターの高さ分以上増やしてくださればちゃんと表示されるようになると思います。
例えば150pxを200pxにして

/* 記事繰り返し処理全ての部分の設定
--------------------------------------------------------------------------------- */
#EntryBlock {
	width: 500px;
	text-align: left;
	padding-top: 200px;
}

こんなかんじでどうでしょうか。

indexページであれば40行目あたりの

<div id="TopTitle">
	<h1><a href="<!--$g_url-->"><span class="TopTitleFont"><!--$g_title--></span></a></h1>
</div>
<div id="TopExplanation">
	<!--$g_explanation-->
</div><div id="TopTitle">
	<h1><a href="<!--$g_url-->"><span class="TopTitleFont"><!--$g_title--></span></a></h1>
</div>
<div id="TopExplanation">
	<!--$g_explanation-->
</div>

にブログタイトル前なら<div id="TopTitle">の直前に、タイトル後なら</div>の直後に書き込めばできると思います。

indexページ以外のページは470行目あたりの

			<div id="TopBlock">
				<div id="TopTitle">
					<h1><a href="<!--$g_url-->"><span class="TopTitleFont"><!--$g_title--></span></a></h1>
				</div>
				<div id="TopExplanation">
					<!--$g_explanation-->
				</div>
			</div>

にブログタイトルの前であれば<div id="TopBlock">の直前に、ブログタイトルとカテゴリーの間であれば最後の</div>の直後に書き込めばできると思います。